Question

17．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，若向量$\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，根据向量的垂直即可得到cosθ=-$\frac{1}{2}$，问题得以解决．

解答 解：设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵向量$\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π．
∴θ=120°，
故答案为：120°．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．