Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=2a_n-2，可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-2，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1．
n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}前n项和T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．