Question

19．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R，b＞0）且对任意实数xf（x）≥2x+b恒成立．
（I）求证：c≥b；
（Ⅱ）若当c≠b时，不等式k（c²-b²）≥f（c）-f（b）对满足条件的b，c恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对任意的x∈R，x²+bx+c≥2x+b转化为x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，即可找到b和c之间的关系；
（Ⅱ）当c＞b时，有k≥$\frac{f（c）-f（b）}{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{c+2b}{b+c}$，换元求值域，求出对应的k的取值范围，即可求k的最小值．

解答 （Ⅰ）证明：由题设，对任意的x∈R，x²+bx+c≥2x+b，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥$\frac{{b}^{2}}{4}$+1≥b；
（Ⅱ）解：当c＞b时，有k≥$\frac{f（c）-f（b）}{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{c+2b}{b+c}$，
令t=$\frac{b}{c}$则-1＜t＜1，$\frac{c+2b}{b+c}$=2-$\frac{1}{t+1}$，
而函数g（t）=2-$\frac{1}{t+1}$（-1＜t＜1）的值域（-∞，$\frac{3}{2}$）
因此，k≥$\frac{3}{2}$，
∴k的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题是对二次函数的恒成立问题的考查．二次函数的恒成立问题一般分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．