甲.乙.丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲.乙参加而丙轮空.以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛.而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为$\frac{1}{2}$.且各局胜负相互独立．求:(1)打满4局比赛还未停止的概率,(2)比赛停止时已打局数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为$\frac{1}{2}$，且各局胜负相互独立．求：
（1）打满4局比赛还未停止的概率；
（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E（ξ）．令A_k，B_k，C_k分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．

分析（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式能求出打满4局比赛还未停止的概率．
（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答解：（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，
打满4局比赛还未停止的概率为：
P（A₁C₂B₃A₄）+P（B₁C₂A₃B₄）=$\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{8}$．
（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6，
P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=3）=P（A₁C₂C₃）+P（B₁C₂C₃）=$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=4）=P（A₁C₂B₃B₄）+P（B₁C₂A₃A₄）=$\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=5）=P（A₁C₂B₃A₄A₅）+P（B₁C₂A₃B₄B₅）=$\frac{1}{{2}^{5}}+\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{16}$，
P（ξ=6）=P（A₁C₂B₃A₄C₅）+P（B₁C₂A₃B₄C₅）=$\frac{1}{{2}^{5}}+\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

∴E（ξ）=$2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{16}+6×\frac{1}{16}$=$\frac{47}{16}$．

点评本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法及应用，考查考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．

	A．	k≤-4或-2≤k≤0或k≥2		B．	-4＜k＜2
	C．	-4＜k＜-2或0＜k＜2		D．	不存在这样的实数k

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