题目内容
19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D$（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
分析 （1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D$（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=-3kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+36k2）x2-24kmx+4（m2-3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．
解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D$（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，
∴由题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}c}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（-$\frac{m}{k}$，0），
∵PM=MN，∴P（$\frac{m}{k}$，2m），Q（$\frac{m}{k}，-2m$），
∴直线QM的方程为y=-3kx+m，
设A（x1，y1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，
∴${x}_{1}+\frac{m}{k}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，∴${x}_{1}=-\frac{3m（1+4{k}^{2}）}{k（3+4{k}^{2}）}$，
设B（x2，y2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+36k2）x2-24kmx+4（m2-3）=0，
∴x2+$\frac{m}{k}$=$\frac{8km}{1+12{k}^{2}}$，∴x2=-$\frac{m（1+4{k}^{2}）}{k（1+12{k}^{2}）}$，
∵点N平分线段A1B1，∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{x}$，
∴-$\frac{3m（1+4{k}^{2}）}{k（3+4{k}^{2}）}-\frac{m（1+4{k}^{2}）}{k（1+12{k}^{2}）}$=-$\frac{2m}{k}$，∴k=$±\frac{1}{2}$，
∴P（±2m，2m），∴$\frac{4{m}^{2}}{4}+\frac{4{m}^{2}}{3}=1$，解得m=$±\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵|m|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$＜b=$\sqrt{3}$，∴△＞0，符合题意，
∴直线l的方程为y=$±\frac{1}{2}x±\frac{\sqrt{21}}{7}$．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的探究与求法，考查推理谁论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查转化思想、化归思想，是中档题．
| A． | m＞n且e1e2＞1 | B． | m＞n且e1e2＜1 | C． | m＜n且e1e2＞1 | D． | m＜n且e1e2＜1 |
| 常喝 | 不常喝 | 合计 | |
| 正常血压 | 4 | 8 | 12 |
| 高血压 | 16 | 2 | 18 |
| 合计 | 20 | 10 | 30 |
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99%的把握认为高血压与常喝酒有关？说明理由；
（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
参考数据：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
如图，已知底面为正三角形，侧棱长都相等的三棱锥S-ABC各顶点都在半球面上，其中A、B、C三顶点在底面圆周上，若三棱锥S-ABC的体积为2$\sqrt{3}$，则该半球的体积为$\frac{16π}{3}$．