Question

7．设命题p：x＞m是2x-5＞0的必要而不充分条件；设命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$$+\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示双曲线
（Ⅰ）若“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出p，q成立的等价条件，（Ⅰ）若“p∧q”为真命题，则p真q真，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，当p真q假时，求出m的取值范围，当p假q真时，求出m的取值范围，然后取并集即可得答案．

解答 解：由2x-5＞0，得$x＞\frac{5}{2}$．
命题p真时，则（$\frac{5}{2}$，+∞）?（m，+∞），得m$≤\frac{5}{2}$．
∴命题p假时，$m＞\frac{5}{2}$．
命题q真时，得（m-1）（2-m）＜0，解得m＜1或m＞2．
命题q假时，1≤m≤2．
（Ⅰ）若“p∧q”为真命题，则p真q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{5}{2}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得m＜1或$2＜m≤\frac{5}{2}$．
∴实数m的取值范围为：（-∞，1）∪（2，$\frac{5}{2}$]；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，
当p真q假时，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{5}{2}}\\{1≤m≤2}\end{array}\right.$，解得1≤m≤2．
当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{5}{2}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得$m＞\frac{5}{2}$．
综上，实数m的取值范围为：[1，2]∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用双曲线方程的等价条件是解决本题的关键，是中档题．