Question

已知命题p：曲线

x2

5-m

+

y2

9-m

=1（5＜m＜9）与x²+y²=

m

2

至少有两个交点．命题q：直线y=x+m与曲线y=

36-x2

有公共点．若p或q是真命题，p∧q是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别求出命题p，q为真命题时的取值范围，然后利用若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

解答： 解：命题p为真命题，∵曲线

x2

5-m

+

y2

9-m

=1（5＜m＜9）为交点在x轴的双曲线，x²+y²=

m

2

至少有两个交点，
∴9-m≤

m

2

，
解得m≥6，
∵5＜m＜9，
∴6≤m＜9
∴￢p时，5＜m＜6；
命题q为真命题，∵直线y=x+m与曲线y=

36-x2

有公共点，图象如图所示
当直线与半圆相切时，即

|m|

2

=6时，m=6

2

，当直线过点（6，0）时，m=-6，
∴-6≤m≤6

2

，
∴￢q时，m＜-6，或m＞6

2

，
∵p或q是真命题，p∧q是假命题
∴p和q一真一假，
若p真q假，则6

2

＜m＜9．
若p假q真，则5＜m≤6

2

．
综上实数m的取值范围是（5，9）．

点评：本题主要考查复合命题的真假与简单命题真假之间的关系，以及双曲线与圆，圆与直线的位关系，属于中档题