Question

5．求证：sin²α•tanα+cos²α•cotα+2sinαcosα=$\frac{1}{sinαcosα}$．

Answer 1

分析 化切为弦，通分后利用平方关系化简证明．

解答 证明：sin²α•tanα+cos²α•cotα+2sinαcosα
=$si{n}^{2}α•\frac{sinα}{cosα}+co{s}^{2}α•\frac{cosα}{sinα}+2sinαcosα$
=$\frac{si{n}^{4}α+co{s}^{4}α}{sinαcosα}+\frac{2si{n}^{2}αco{s}^{2}α}{sinαcosα}$
=$\frac{si{n}^{4}α+si{n}^{2}αco{s}^{2}α+si{n}^{2}αco{s}^{2}α+co{s}^{4}α}{sinαcosα}$
=$\frac{si{n}^{2}α（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）+co{s}^{2}α（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）}{sinαcosα}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1}{sinαcosα}$．

点评 本题考查三角恒等式的证明，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．