Question

已知曲线C₁：

x=-4+cosα y=3+sinα

，（α为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

，（θ为参数）
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数为α=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据普通方程和参数方程的互化公式直接进行求解；
（Ⅱ）当α=

π

2

时，得到点P的坐标，然后，转化成求解点M到直线的距离的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）据题，由曲线C₁：

x=-4+cosα y=3+sinα

，（α为参数），得
（x+4）²+（y-3）²=1，
它表示一个以（-4，3）为圆心，以1为半径的圆，
由C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

，（θ为参数）得

x2

64

+

y2

9

=1，
它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆，
（Ⅱ）当α=

π

2

时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ），
由直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

，（t为参数），得
x-2y-7=0，它表示一条直线，M到该直线的距离为：
d=

1

5

|4cosθ-3sinθ-13|
=

1

5

|5cos（θ+Φ）-13|，（其中sinΦ=

3

5

，cosΦ=

4

5

），
当cos（θ+Φ）=1时，d取最小值

8 5

5

，
从而，当sinΦ=-

3

5

，cosΦ=

4

5

，时，d有最小值

8 5

5

，
此时，点Q（

32

5

，-

9

5

）．

点评：本题综合考查了普通方程和参数方程的互化公式、椭圆的参数方程和直线的参数方程及其应用，属于中档题．