题目内容

已知函数f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）在x=
π
3
处的切线与直线9x-2y=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证函数y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的图象始终在直线y=2x的上方．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=acosx+
1
cos2x
，由此能求出a=1．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-2x=sinx+tanx-2x，g′(x)=cosx+
1
cos2x
-2，由此利用导数性质能证明函数y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的图象始终在直线y=2x的上方．
解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=asinx+tanx，0＜x＜
π
2
，
得f′(x)=acosx+
1
cos2x
，
由题意f′(
π
3
)=
9
2
，a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-2x=sinx+tanx-2x，
g′(x)=cosx+
1
cos2x
-2
=
cos3x-2cos2x+1
cos2x

=
(cosx-1)(cos2x-cosx-1)
cos2x

=
(cosx-1)[cosx(cosx-1)-1]
cos2x
，
∵0＜cosx＜1，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，
π
2
）上是增函数，∴g（x）＞g（0）=0，
∴sinx+tanx＞2x，
∴函数y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的图象始终在直线y=2x的上方．
点评：本题考查实数值的求法，考查函数y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的图象始终在直线y=2x的上方的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
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已知向量
a
=（x2-3x，1），
b
=（x，-tx+2），定义f（x）=
a
•
b
，有f（x）单调递减区间是（k，3）．
（Ⅰ）求函数式y=f（x）及k的值；
（Ⅱ）若对?x∈[-2，4]，总有|f（x）-m|≤16（m∈Z），求实数m的值；
（Ⅲ）若过点（-2，n）能作出函数f（x）的三条切线，求实数n的取值范围．
化简：
（1）
sin(
π
2
+α)•cos(
π
2
-α)
cos(π+α)
+
sin(π-α)•cos(
π
2
+α)
sin(π+α)

（2）log3（
427
3
）+lg25+lg4+7 log72．
已知函数f（x）=ax3-lnx（a∈R）．
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已知两定点A（-5，0），B（5，0），C为动点
（1）若C在x轴上方，且△ABC是等腰直角三角形，求C点坐标；
（2）若直线CA，CB的斜率乘积为-
16
25
，求C点坐标（x，y）满足的关系式．
解关于x的不等式
a(x-1)
x-2
＞2，其中a为常数，且a≤1．
从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）按照区间[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]进行分组，得到频率分布直方图（如图）．
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已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c在x=1和x=3处取得极值，求a、b的值．
已知向量
a
=（1，-3），
b
=（4，-2），若（λ
a
+
b
）∥
b
，则λ=
 
．

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