Question

设是数的任意一个全排列，定义，其中.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.

Answer 1

解：（Ⅰ）.

（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.

对于排列，此时，

所以的最大值为.

（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○

其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为.