Question

20．设数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前10项的和为$\frac{20}{11}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），利用“累加求和”可得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
当n=1时，上式也成立，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项的和S_n=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$2（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前10项的和为$\frac{20}{11}$．
故答案为：$\frac{20}{11}$．

点评 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．