Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，设g（x）=f（x）-kx
（1）当x∈[-2，2]时，g（x）为单调函数，求实数k的范围；
（2）当x∈[1，2]时，g（x）＜0恒成立，求实数k的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得函数f（x）的对称轴为x=-1，用待定系数法求出f（x）的解析式，从而得g（x）的解析式，结合g（x）在[-2，2]上是单调函数，知对称轴在[-2，2]外，求出k的取值范围．
（2）若g（x）=x²+（2-k）x+1，x∈[1，2]时，g（x）＜0恒成立，则

g(1)＜0 g(2)＜0

，解得实数k的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1（a＞0），
f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；
∴x=-

b

2a

=-1，且a-b+1=0；
即b=2a，且a-b+1=0，
解得a=1．b=2；
∴f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，
∴x=

k-2

2

应满足：

k-2

2

≥2，或

k-2

2

≤-2，
即k≥6，或k≤-2；
∴k的取值范围是{k|k≤-2，或k≥6}．
（2）若g（x）=x²+（2-k）x+1，x∈[1，2]时，g（x）＜0恒成立，
则

g(1)＜0 g(2)＜0

，
即

4-k＜0 9-2k＜0

解得：k＞

9

2

，
∴k的取值范围是{k|k＞

9

2

}

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及函数单调性的应用问题，是中档题．