Question

11．判断f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+3，x＜0}\\{3，x=0}\\{-{x}^{2}+2x-3，x＞0}\end{array}\right.$的奇偶性．

Answer 1

分析 根据函数的解析式对x进行分类讨论，分别利用解析式求出f（-x）、f（x），再判断出f（-x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性进行判断．

解答 解：由题意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+3，x＜0}\\{3，x=0}\\{-{x}^{2}+2x-3，x＞0}\end{array}\right.$，定义域是R，
当x＜0时，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²-2x-3=-x²-2x-3，
∴f（x）=x²+2x+3，则f（-x）=-f（x）；
当x＞0时，则-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²-2x+3=x²-2x+3，
∴f（x）=-x²+2x-3，则f（-x）=-f（x）；
当x=0时，则-x=0，
∴f（-0）=f（0）=3，不满足f（-0）=-f（0），
综上可得，函数f（x）是非奇非偶函数．

点评 本题考查分段函数的奇偶性判断，函数奇偶性定义的应用，考查分类讨论思想，注意x=0时的验证．