Question

19．已知数列{a_n}满足${a_1}=3，{a_{n+1}}={a_n}+2（n∈{N^*}）$，其前n项和为S_n，则$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{99}{28}$
• C． $\frac{71}{20}$
• D． $\frac{51}{12}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式与求和公式可得a_n，S_n，再利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足${a_1}=3，{a_{n+1}}={a_n}+2（n∈{N^*}）$，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
前n项和为S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
则$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$=$\frac{4{n}^{2}+8n+39}{4（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$$（2n+1+\frac{36}{2n+1}+2）$≥$\frac{1}{4}（2\sqrt{（2n+1）•\frac{36}{（2n+1）}}+2）$，由2n+1=6，解得n=$\frac{5}{2}$．
∴n=2时，$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$=$\frac{71}{20}$，
n=3时，$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$=$\frac{99}{28}$．∵$\frac{99}{28}$＜$\frac{71}{20}$，∴最小值为$\frac{99}{28}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．