Question

已知函数，且在时函数取得极值.
（1）求的单调增区间；
（2）若，
（Ⅰ）证明：当时，的图象恒在的上方；
（Ⅱ）证明不等式恒成立.

Answer 1

（1）函数的单调增区间为和；（2）详见解析.

试题分析：（1）先利用函数在处取得极值，由求出的值，进而求出的解析式，解不等式，从而得出函数的单调增区间；（2）（Ⅰ）构造新函数，利用导数证明不等式在区间上成立，从而说明当时，的图象恒在的上方；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论证明当时，，由此得到，，，，结合累加法得到，再进行放缩得到
，从而证明.
试题解析：（1），，函数的定义域为，
由于函数在处取得极值，则，
，
解不等式，得或，
故函数的单调增区间为和；
（2）（Ⅰ）构造函数，其中，
，故函数在区间上单调递减，
则对任意，则，即，即，
即当时，的图象恒在的上方；
（Ⅱ）先证当时，，由（Ⅰ）知，当且时，，
故有，
由于，，，，
上述个不等式相加得，即，
即，由于，
上述不等式两边同时乘以得.