Question

设,.
（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程;
（Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
（Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想和转化思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入得到解析式，求将代入得到切线的斜率，再将代入到中得到切点的纵坐标，利用点斜式求出切线方程；第二问，先将问题转化为，进一步转化为求函数的最大值和最小值问题，对求导，通过画表判断函数的单调性和极值，求出最值代入即可；第三问，结合第二问的结论，将问题转化为恒成立，进一步转化为恒成立，设出新函数，求的最大值，所以即可.
试题解析：(1)当时,,,,,
所以曲线在处的切线方程为;         2分
(2)存在,使得成立等价于:,
考察,,

		递减	极小值	递增

由上表可知:,
,
所以满足条件的最大整数;                       7分
(3)当时,恒成立等价于恒成立,
记，，，
记，，由于，
，所以在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以.