Question

已知函数，且.
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意实数，有成立，求的最小值.

Answer 1

（1）是奇函数；（2）在区间上单调递增；（3）.

试题分析：（1）由条件可求得函数解析式中的值，从而求出函数的解析式，求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称（这一步很容易被忽略），再通过计算，与进行比较解析式之间的正负，从而判断的奇偶性；（2）由（1）可知函数的解析式，根据函数单调性的定义法进行判断求解，（常用的定义法步骤：取值；作差；整理；判断；结论）；（3）综合（1）（2），根据函数的奇偶性、单调性，以及自变量的范围，分别求出函数在最大、最小值，从而得出式子最大值，求出实数的最小值.
试题解析：（1）即 
函数定义域为关于原点对称

是奇函数                    4分
（2）任取
则
        
在区间上单调递增         8分
（3）依题意只需
又
                 12分