Question

【题目】在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点．

（Ⅰ）若，求与所成角的余弦值；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的大小；

（Ⅲ）若二面角的大小为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．

【解析】

（Ⅰ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值；

（Ⅱ）设，由，得，从而，求出平面的法向量，由此能求出与平面所成角的大小．

（Ⅲ）求出平面的法向量和平面的法向量，利用同量法能求出当二面角的大小为时，的值．

解：（Ⅰ）三棱柱中，⊥底面，

，，为线段上一点，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，

∵，∴，

∴，，

设与所成角为，

则与所成角的余弦值为：，

（Ⅱ）设，由，

得，

解得：，

∴，

设与平面所成角为，

∵平面的法向量为，

∴，

∴与平面所成角的大小为30°．

（Ⅲ）设，

则，

而，

设平面的法向量，

则，即，

取，得，

平面的法向量，

∵二面角的大小为，

∴，

解得：，

则，即为的中点，

，即，

∴当二面角的大小为时，．