题目内容
【题目】已知函数.
当
时,求函数
的单调增区间;
若函数
在
上是增函数,求实数a的取值范围;
若
,且对任意
,
,
,都有
,求实数a的最小值.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
把
代入函数解析式,求其导函数,由导函数大于0求函数
的单调增区间;
求原函数的导函数
,由函数
在
上是增函数,说明其导函数在
上大于等于0恒成立,在导函数中x与
恒大于0,只需
对
恒成立,则a可求;
由
知,当
时
在
上是增函数,任取
,
,且规定
,则不等式
可转化为
恒成立,引入函数
,说明该函数为增函数,则其导函数在
上大于等于0恒成立,分离变量后利用基本不等式可求a的最小值.
解:当
时,
.
则
令,得
,即
,解得:
或
.
因为函数的定义域为,
所以函数的单调增区间为
.
由函数
.
因为函数在
上是增函数,
所以对
恒成立
即对
恒成立.
所以
即实数a的取值范围是.
因为
,由
知函数
在
上是增函数.
因为,
,
,不妨设
,所以
由恒成立,可得
,
即恒成立.
令,则
在
上应是增函数
所以对
恒成立.
即对
恒成立.
即对
恒成立
因为当且仅当
即
时取等号
,
所以.
所以实数a的最小值为.

练习册系列答案
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