Question

【题目】已知函数，，．

（1）求函数的极值；

（2）直线为函数图象的一条切线，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时没有极值；当时，有极大值，极大值为；（2）.

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数的正负，即可判断函数的单调性，根据单调性求极值；

（2）设出切点为，利用导数几何意义求得与之间的关系，将问题转化为在对应区间满足，即可求得参数范围.

解：（1）∵，

∴函数的定义域为．

∵，

∴．

①当时，，在上为增函数，无极值；

②当时，由，得．

∵时，，为增函数，

时，，为减函数，

∴在定义域上有极大值，极大值为．

（2）设直线与函数图象相切的切点为，则．

∵，∴．∴．∴．

又∵，

∴．∴．∴．

∴．

∵对任意的，都有成立，

∴只需

∵，

∴由，得．

∵，∴．

∴时，，为减函数，

时，，为增函数．

∴，即．

∵在上为减函数，

∴．

∴．

即．

设，易知在上为增函数．

又∵，

∴实数的取值范围为．