题目内容
【题目】设.
(1)若,且
为函数
的一个极值点,求函数
的单调递增区间;
(2)若,且函数
的图象恒在
轴下方,其中
是自然对数的底数,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)求出的导函数,由
为函数
的一个极值点,则
,即可求出参数
的值,解
得到函数的单调递增区间.
(2)依题意,,即
在
上恒成立,
令,利用导数研究函数的单调性、极值,则
的极小值需大于零,再次构造函数求出参数的取值范围.
解:(1),
,由题意
,所以
,所以
,令
,得
或
,当
时,
,当
时,
,当
时,
,所以函数
的单调递增区间是
和
;
(2)依题意,,即
在
上恒成立,
令,则
.
对于,
,故其必有两个零点,且两个零点的积为-1,
则两个零点一正一负,设其中一个零点为,
则,即
,
且在
上单调递减,在
上单调递增,
故,即
,
令,
则,
当时,
,当
时,
,则
在
上单调递增,在
上单调递减,又
,故
,显然函数
在
上是关于
的单调递增函数,则
,故实数
的取值范围为
.
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