题目内容
【题目】设函数(
,
).
(1)当时,
在
上是单调递增函数,求
的取值范围;
(2)当时,讨论函数
的单调区间;
(3)对于任意给定的正实数,证明:存在实数
,使得
【答案】(1)(2)答案不唯一,见解析 (3)证明见解析
【解析】
(1)利用即可求解。
(2)根据可把解析式化为
,然后对函数求导,由于导函数中含有参数,故讨论参数
的取值范围,即可求出单调区间。
(3)根据题干只需证明存在,故不妨先证
时,
,限制
,利用不等式中的放缩法即可证出。
解:(1)当时,
,
∴
∵在
上单调递增
∴在
上恒成立
∴恒成立,则
∴.
(2)∵
∴
∴
∴
①当时,令
,得
的单调递增区间为
的单调递减区间为
②当时,令
,得
的单调递增区间为
的单调递减区间为
③当时,令
,
得,
当
,即
时,
,∴
在
上单调递增
当
,即
时,
的单调递增区间为
和
;
的单调递减区间为
当
,即
时,
的单调递增区间为
和
;
的单调递减区间为
.
(3)易证:时,
限制
∴
∴
此时
令
取,则
故得证.
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