题目内容
【题目】设函数
（
，
）.
（1）当
时，
在
上是单调递增函数，求
的取值范围；
（2）当
时，讨论函数的单调区间；
（3）对于任意给定的正实数，证明：存在实数
，使得
【答案】（1）
（2）答案不唯一，见解析 （3）证明见解析
【解析】
（1）利用
即可求解。
（2）根据
可把解析式化为
，然后对函数求导，由于导函数中含有参数，故讨论参数
的取值范围，即可求出单调区间。
（3）根据题干只需证明存在
，故不妨先证
时，
，限制
，利用不等式中的放缩法即可证出。
解：（1）当
时，
，
∴
∵
在
上单调递增
∴
在上恒成立
∴
恒成立，则
∴.
（2）∵
∴
∴
∴
①当
时，令
，得
的单调递增区间为
的单调递减区间为
②当时，令，得
的单调递增区间为
的单调递减区间为
③当
时，令，
得
，
当
，即
时，
，∴在
上单调递增
当
，即
时，
的单调递增区间为和
；的单调递减区间为
当
，即
时，的单调递增区间为
和；的单调递减区间为
.
（3）易证：时，
限制
∴
∴
此时
令
取
，则
故得证.
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