题目内容
【题目】已知圆
：
，点
，点
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线交线段
于点
.
（1）求点的轨迹方程.
（2）设点
，
是的轨迹上异于顶点的任意两点，以
为直径的圆过点
.求证直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
；（2）直线
过定点
，证明见解析.
【解析】
（1）根据已知可得
，从而得点
的轨迹为椭圆，即可求出方程；
（2）设直线方程为
，与椭圆方程联立，得到
两点横坐标的关系，再由已知可得
，利用
和两点横坐标的关系，整理出
关系或求出
为定值，即可求出结论.
（1）圆
：
，得圆心
，半径
，
的垂直平分线交线段
于点
，
，
点的轨迹为椭圆，且焦点在
轴，
，
，
点的轨迹方程为；
（2）依题意直线斜率存在，设其方程为
，
联立
，消去
得，
，
，
设
，则
，
以为直径的圆过点
，
，
，
，
整理得
，此时
恒成立，
所以直线过定点.
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【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（
）的检测数据，结果统计如下：
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空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）从空气质量指数属于
，
的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失
（单位：元）与空气质量指数
的关系式为
，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
