Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²m²+am，则正实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．

解答 解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵f（x）=2^x，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=log₂x，（x＞0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=ma+2m²a²，在a∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为ma+2m²a²＞0），
所以：f（x）＞2，即log₂x＞2，
解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴ma+2m²a²＞1，a∈（1，+∞），且m＞0，
把m当作主变量，
则不等式等价为2m²a²+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等价为2ma-1＞0，
即m＞$\frac{1}{2a}$，
∵a＞1，
∴$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
则m≥$\frac{1}{2}$，
故正实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：A

点评 本题主要考查了分段函数的应用，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键，难度较大．