Question

7．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三视图如图，
（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）面ADC₁与BB₁交于点M，求证：MB=MB₁．

Answer 1

分析 （1）判断几何体是四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形，连结C₁D，证明DC₁⊥D₁C，AD⊥DC₁，得到DC₁⊥平面ADC₁，然后证明DC₁⊥AC₁；
（2）证明ABM和△DCC₁相似，然后证明MB=MB₁．

解答 （1）证明：由三视图得，该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形，
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连结C₁D，
∵DC=DD₁，∴四边形DCC₁D₁是正方形，
∴DC₁⊥D₁C．又AD⊥CD，AD⊥DD₁，DC∩DD₁=D，
∴又AD⊥平面DCC₁D₁，DC₁?平面DCC₁D₁，∴AD⊥DC₁
∵AD，DC₁?平面ADC₁，且AD∩DC₁=D，∴DC₁⊥平面ADC₁，
又AC₁?平面ADC₁，∴DC₁⊥AC₁；
（2）空间中两个角的边对应平行则∠AMB=∠DC₁C，又$∠ABM=∠DC{C_1}={90^0}$，
∴△ABM和△DCC₁相似，∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BM}{{C{C_1}}}=\frac{1}{2}$，∴MB=MB₁．

点评 本题考查空间几何体的三视图的应用，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力．