Question

设a，b，c为△ABC的三边，求方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的条件，然后证明充分性即可．

解答： 证明：必要性：设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根为m，
则

m2+2am+b2=0 m2+2cm-b2=0

，
两式相减得得m=-（a+c）．（m=0舍去）．）
将m=-（a+c）代入m²+2am+b²=0，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，
整理得a²=b²+c²．
所以A=90°．
充分性：当A=90°时，a²=b²+c²．
于是x²+2ax+b²=0?x²+2ax+a²-c²=0?[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．
同样，x²+2cx-b²=0?[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a）．
显然x₁=x₃，两方程有公共根．
故方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°．

点评：本题考查的是充要条件的证明，有关充要条件的证明问题，要分两个环节：一是充分性；二是必要性，属于中档题．