Question

8．函数f（x）=cos²x+asinx+a+1，x∈R．
（Ⅰ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，0]，f（x）≥0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式sin²x+cos²=1和配方法对函数f（x）进行转化，由正弦三角函数的最值和二次函数最值的求法可以求得g（a）的表达式；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立的条件是$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{2a+1≥0}\end{array}\right.$，由此求得a的取值范围；
（Ⅲ）设F（a）是一次函数F（a）=a（sinx+1）+1+cos²x，所以斜率大于等于零，则：F（-2）≥0，即-2sinx-2+1+cos²x≥0，由此求得x的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+asinx+a+1=-sin²x+asinx+a+2=-[sinx-$\frac{a}{2}$]²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2．，
①当$\frac{a}{2}$≥0即a≥0时，函数在sinx=-1处取得最小值，g（a）=1；
②当$\frac{a}{2}$＜0即a＜0时，函数在sinx=1处取得最小值，g（a）=2a+1，
综上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1（a≥0）}\\{2a+1（a＜0）}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{2a+1≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥$-\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）设F（a）=f（x）=a（sinx+1）+1+cos²x，
所以，F（a）是一次函数，且斜率大于等于零，
要使任意的a∈[-2，0]，F（a）=f（x）≥0恒成立，
只需：F（-2）≥0，即-2sinx-2+1+cos²x≥0
整理得：sinx∈[-2，0]，即sinx≤0，
所以，x的取值范围是{x|2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．