Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=12，则球O的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：球

分析：由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，把三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线就是球O的直径，求出球O的直径，进而求出球O的半径，代入球的体积公式求解即可．

解答： 解：由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，
把三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线就是球O的直径，
所以球O的半径=

32+42+52

2

=

13

2

，
则球O的体积是：

4

3

π(

13

2

)3=

2197π

6

．
故答案为：

2197π

6

．

点评：本题主要考查了球的内接多面体，球的体积的求法的运用，考查了学生的空间想象能力和运算能力，属于中档题，解答此题的关键是求出球O的半径．