Question

已知函数．
（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
（3）设为正实数，且，求证：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据题意，可得，又由为极值点，故，代
入并检验即可得到，从而切线斜率，切点为，因此切线方程为；
由（1），故在上为单调增函数等价于
在上恒成立，将不等式变形为，从而问题等价于求使在上恒成立的的取值范围，而，当且仅当时，“”成立，即，因此只
需，∴，即的取值范围是；
（3）要证，只需证，
即证只需证，由（2）中所得，令，则，
由（2）知在上是单调增函数，又，因此，即成立，即有.
试题解析：（1）∵，∴
又∵是函数的极值点，∴，代入得，经检验符合题意，
从而切线斜率，切点为，∴切线方程为；
（2）由（1），
∵上为单调增函数，∴上恒成立，
即在上恒成立，将不等式变形为，即需使在
上恒成立，而，当且仅当时，“”成立，因此只需，∴，
∴的取值范围是；
由（2），令，则，由（2）知在上是单调增函数，又∵，∴，∴，
即.