Question

2．直角三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且c为斜边的长．
（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；
（2）已知a，b，c均为正整数，若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的性质，结合勾股定理，即可求出c的值；
（2）根据三边长为三个连续的正整数，利用勾股定理，即可求出三边的长，从而求出三角形的面积．

解答 解：（1）直角△ABC中，三边长a，b，c成等比数列，且a=2，
∴c=$\frac{{b}^{2}}{2}$；
又c²=a²+b²=2²+b²，
∴c²=4+2c，
解得c=1+$\sqrt{5}$或c=1-$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），
∴c的值为1+$\sqrt{5}$；
（2）直角△ABC中，三边长a，b，c，且c为斜边，
当a，b，c为三个连续的正整数时，
（b-1）²+b²=（b+1）²，
解得b=4或b=0（不合题意，舍去）；
∴a=3，c=5，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的应用问题，也考查了直角三角形中勾股定理的应用问题，是基础题目．