Question

12．已知函数f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$可以化为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））．
（1）求出A，ω，φ的值并求函数f（x）的单调增区间；
（2）若等腰△ABC中，A=φ，a=2，求角B，边c．

Answer 1

分析 （1）直接将函数f（x）化简即可得到A，ω，φ的值，利用三角函数的图象及性质求解函数f（x）的单调增区间即可．
（2）利用正弦定理和两角和与差公式进行求解即可．

解答 解：（1）$f（x）={cos^2}x-\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}×2sinxcosx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=sin（\frac{π}{6}-2x）=sin（2x+\frac{5π}{6}）$
所以：A=1，ω=2，$φ=\frac{5π}{6}$．
根据正弦函数图象及性质可知：
$2x+\frac{5π}{6}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是单调增区间；即2kπ$-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{5π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）；
解得：$kπ-\frac{2π}{3}$≤x≤$kπ-\frac{π}{6}$
∴函数f（x）的单调增区间为：[$kπ-\frac{2π}{3}$，$kπ-\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（2）由题意：△ABC是等腰，A=φ=$\frac{5π}{6}$，a=2．
∵B+C+A=π
那么：B=C=$\frac{π}{12}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinA}$可得：$\frac{2}{sin150°}=\frac{c}{sin15°}$
解得：$c=\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
所以B=$\frac{π}{12}$，$c=\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和性质的综合运用，正弦定理和两角和与差的公式．属于中档题．