Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{2}$上的两点，则tan（α+β）的值为-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出A、B坐标，然后利用两角和的正切函数求解即可．

解答 解：由题意可得：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是单位圆上的点，与直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{2}$上的交点，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\sqrt{3}x+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，x=$\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
cosα=$\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sinα=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
tanα=$\frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$=-2-$\sqrt{3}$．
cosβ=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
则sinβ=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
tanβ=$\frac{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}{\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$=2$-\sqrt{3}$．
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-2-\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{1-（-2-\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{1+4-3}$=$-\sqrt{3}$．
故答案为：-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角恒等变换，两角和与差的三角函数，可以利用同角三角函数基本关系式求解，考查转化思想以及计算能力．