Question

8．已知数列{a_n}是等比数列，且a₂•a₅=$\frac{32}{9}，{a_1}+{a_6}$=11．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=21，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和等比数列的性质可得a₁和a₆，再求出公式，可得通项公式，
（2）由求和公式可得．

解答 解：（1）依题意a₂•a₅=${a_3}{a_4}={a_1}{a_6}=\frac{32}{9}，{a_1}+{a_6}=11$，所以${a_1}=\frac{32}{3}，{a_6}=\frac{1}{3}$或${a_1}=\frac{1}{3}，{a_6}=\frac{32}{3}$，
若${a_1}=\frac{32}{3}，{a_6}=\frac{1}{3}$，则${q^5}=\frac{a_6}{a_1}=\frac{1}{32}$，即$q=\frac{1}{2}$，故${a_n}=\frac{32}{3}•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=\frac{1}{3}•{（\frac{1}{2}）^{n-6}}$，
若${a_1}=\frac{1}{3}，{a_6}=\frac{32}{3}$，则${q^5}=\frac{a_6}{a_1}=32$，即q=2，故${a_n}=\frac{1}{3}•{2^{n-1}}$，
综上可知${a_n}=\frac{1}{3}•{（\frac{1}{2}）^{n-6}}$或${a_n}=\frac{1}{3}•{2^{n-1}}$．
（2）若${a_n}=\frac{1}{3}•{（\frac{1}{2}）^{n-6}}$，则${S_n}=\frac{64}{3}（1-\frac{1}{2^n}）=21$，解得n=6；
若${a_n}=\frac{1}{3}•{2^{n-1}}$，则${S_n}=\frac{1}{3}（{2^n}-1）=21$，解得n=6，
综上可知n=6．

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和分类讨论，属中档题．