Question

5．直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=$\frac{1}{5}$，则sin∠BAC=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x，先在Rt△ADE中，由tan∠BAD=$\frac{1}{5}$，得出AE=5k，AD=$\sqrt{26}$k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE，于是AB=AE+BE=5k+$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$，然后根据AC的长度不变得出AD²-CD²=AB²-BC²，即26k²-4x²=（5k+$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$）²-9x²，解方程求出x=$\sqrt{2}$k，或x=$\frac{\sqrt{13}}{2}$k，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．

解答 解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD=$\frac{1}{5}$=$\frac{DE}{AE}$，
∴AE=5DE=5k，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{26}$k．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$，
∴AB=AE+BE=5k+$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$．
∵∠C=90°，
∴AD²-CD²=AB²-BC²，
即26k²-4x²=（5k+$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$）²-9x²，
解得k²=$\frac{1}{2}$x²，或$\frac{4}{13}$x²，
即x=$\sqrt{2}$k，或x=$\frac{\sqrt{13}}{2}$k，
经检验，x=$\sqrt{2}$k，或x=$\frac{\sqrt{13}}{2}$k是原方程的解，
∴BC=3$\sqrt{2}$k，或$\frac{3\sqrt{13}}{2}$k，
AB=AE+BE=5k+$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$=6k，或$\frac{13k}{2}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，设DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程26k²-4x²=（5k+$\sqrt{{x}^{2}-{k}^{2}}$）²-9x²是解题的关键，本题也考查了解无理方程的能力，考查了转化思想和数形结合思想，计算量较大，属于难题．