Question

20．已知函数f（x）=e^x（x²-a），a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-3，0）上单调递减，试求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为-2e，试求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；
（2）函数f（x）在（-3，0）上单调递减，即当x∈（-3，0）时，x²+2x-a≤0恒成立．要使得“当x∈（-3，0）时，x²+2x-a≤0恒成立”，等价于$\left\{{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a≥0}\end{array}}\right.$所以a≥3．   
（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在${x_2}=-1+\sqrt{a+1}$处取得．

解答 解：由题意可知f'（x）=e^x（x²+2x-a）．
（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=-1，f'（0）=-1，
所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-（x-0）．
即x+y+1=0．                                     
（Ⅱ）因为函数f（x）在（-3，0）上单调递减，
所以当x∈（-3，0）时，f'（x）=e^x（x²+2x-a）≤0恒成立．
即当x∈（-3，0）时，x²+2x-a≤0恒成立．
显然，当x∈（-3，-1）时，函数g（x）=x²+2x-a单调递减，
当x∈（-1，0）时，函数g（x）=x²+2x-a单调递增．
所以要使得“当x∈（-3，0）时，x²+2x-a≤0恒成立”，
等价于$\left\{{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a≥0}\end{array}}\right.$所以a≥3．      
（Ⅲ）设g（x）=x²+2x-a，则△=4+4a．
①当△=4+4a≤0，即a≤-1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．
所以函数f（x）在（-∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．
②当△=4+4a＞0，即a＞-1时，令f'（x）=e^x（x²+2x-a）=0得x²+2x-a=0，
解得${x_1}=-1-\sqrt{a+1}，{x_2}=-1+\sqrt{a+1}$
随着x变化时，f（x）和f'（x）的变化情况如下：

x	$（-∞，-1-\sqrt{1+a}）$	$-1-\sqrt{1+a}$	$（-1-\sqrt{1+a}，-1+\sqrt{1+a}）$	$-1+\sqrt{1+a}$	$（-1+\sqrt{1+a}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

当x∈$（-∞，-1-\sqrt{1+a}]$时，${x^2}≥{（-1-\sqrt{1+a}）^2}=2+a+2\sqrt{1+a}$．
所以${x^2}-a≥2+2\sqrt{1+a}＞0$．
所以f（x）=e^x（x²-a）＞0．
又因为函数f（x）的最小值为-2e＜0，
所以函数f（x）的最小值只能在${x_2}=-1+\sqrt{a+1}$处取得．
所以$f（-1+\sqrt{a+1}）={e^{-1+\sqrt{a+1}}}[{（-1+\sqrt{a+1}）^2}-a]=2{e^{-1+\sqrt{a+1}}}（1-\sqrt{a+1}）=-2e$．
所以${e^{-1+\sqrt{a+1}}}（\sqrt{a+1}-1）=e$．
易得$\sqrt{a+1}-1=1$．
解得a=3．                            
以下证明解的唯一性，仅供参考：
设$g（a）={e^{-1+\sqrt{a+1}}}（1-\sqrt{a+1}）$
因为a＞0，所以$-1+\sqrt{1+a}＞0$，$1-\sqrt{1+a}＜0$．
设$x=-1+\sqrt{1+a}＞0$，则$-x=1-\sqrt{1+a}$．
设h（x）=-xe^x，则h'（x）=-e^x（x+1）．
当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．
当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．
所以方程${e^{-1+\sqrt{a+1}}}（\sqrt{a+1}-1）=e$只有唯一解a=3．

点评 本题主要考查了利用导数求某点处的切线方程，函数的最值与单调性判断等综合知识点，属中等题．