Question

7．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l经过定点P（3，4），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程．
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l经过定点P（3，4），倾斜角为$\frac{π}{6}$，能求出直线l的参数方程；曲线C的参数方程消去参数θ，能求出曲线C的标准方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的标准方程，得：${t}^{2}+（3+\sqrt{3}）t-6=0$，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l经过定点P（3，4），倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C消去参数θ，得曲线C的标准方程为：（x-2）²+（y-1）²=16．
（Ⅱ）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的标准方程：（x-2）²+（y-1）²=16．
整理，得：${t}^{2}+（3+\sqrt{3}）t-6=0$，
设t₁，t₂是方程的两个根，则t₁t₂=-6，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

点评 本题考查直线的参数方程、曲线的标准方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．