Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC
（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小为45°，求$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设E为BC的中点，连结AE，推导出四边形AECD为平行四边形，AB⊥AC，AB⊥PA，由此能证明AB⊥PC．
（Ⅱ）以A为原点，分别以射线AE、AD、AP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能求出$\frac{PM}{PD}$的值．

解答 （本题满分（15分）
证明：（Ⅰ）如图，设E为BC的中点，连结AE，
则AD=EC，AD∥EC，AD∥EC，所以四边形AECD为平行四边形，
故AE⊥BC，又AE=BE=EC=2$\sqrt{2}$，
所以∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，…（3分）
又因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，…（5分）
且PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC． …（7分）
解：（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以射线AE、AD、AP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），E（2$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，0），C（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2），…（9分）
设$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PD}$=（0，2$\sqrt{2}λ$，-2λ），（0≤λ≤1），解得M（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），…（10分）
设平面AMC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AM}=2\sqrt{2}λy+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，…（11分）
令y=$\sqrt{2}$，得$x=-\sqrt{2}，z=\frac{2λ}{λ-1}$，即${\overrightarrow n_1}=（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，\frac{2λ}{λ-1}）$．…（12分）
又平面ACD的一个法向量为${\overrightarrow n_2}=（0，0，1）$，…（13分）
由题知$|cos＜{\overrightarrow n_1}，{\overrightarrow n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|×|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{|\frac{2λ}{λ-1}|}}{{\sqrt{4+{{（\frac{2λ}{λ-1}）}^2}}}}$=$cos{45°}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{PM}{PD}$的值为$\frac{1}{2}$．…（15分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．