Question

8．设椭圆E₁的长半轴长为a₁、短半轴长为b₁，椭圆E₂的长半轴长为a₂、短半轴长为b₂，若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，则我们称椭圆E₁与椭圆E₂是相似椭圆．已知椭圆E：$\frac{x^2}{2}$+y²=1，其左顶点为A、右顶点为B．
（1）设椭圆E与椭圆F：$\frac{x^2}{s}$+$\frac{y^2}{2}$=1是“相似椭圆”，求常数s的值；
（2）设椭圆G：$\frac{x^2}{2}$+y²=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k₁的直线l₁与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k₂的直线l₂与椭圆G只有一个公共点，求|k₁k₂|的值；
（3）已知椭圆E与椭圆H：$\frac{x^2}{2}$+$\frac{y^2}{t}$=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x₀，y₁），且椭圆E上的点M（x₀，y₂）（y₁y₂＞0）求证：AM⊥BC．

Answer 1

分析 （1）利用新定义，通过s＞2，0＜s＜2，分别求出s即可．
（2）求出l₁、l₂的方程分别为$y={k_1}（x+\sqrt{2}）$、y=k₂x+1，分别与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出|k₁|，|k₂|，然后推出|k₁k₂|=$\frac{1}{2}$．
（3）写出椭圆E，椭圆H的方程，求出k_AM，k_BC，推出向量乘积为-1，即可证明AM⊥BC．

解答 （1）解：显然椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，
由椭圆E与F相似易得：
当s＞2时$\frac{2}{s}=\frac{1}{2}$⇒s=4；…2分
当0＜s＜2时$\frac{2}{2}=\frac{1}{s}$⇒s=1，…4分
所以s=4或1…4分
（2）证明：易得$A（-\sqrt{2}，0），D（0，1）$
所以l₁、l₂的方程分别为$y={k_1}（x+\sqrt{2}）$、y=k₂x+1
依题意联立：$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=λ}\end{array}}$⇒（1+2k₁²）x²+4$\sqrt{2}$k₁²x+4k₁²-2λ=0
又直线l₁与椭圆G相切则△₁=0（又0＜λ＜1），
即|k₁|=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}\sqrt{\frac{λ}{1-λ}}$…6分
依题意再联立：$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_2}x+1}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=λ}\end{array}}$⇒（1+2k₂²）x²+4k₂x+2-2λ=0
又直线l₂与椭圆G相切则△₂=0（又0＜λ＜1），
即|k₂|=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}\sqrt{\frac{1-λ}{λ}}$…8分
故|k₁k₂|=$\frac{1}{2}$．…10分
（3）解：显然椭圆E：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，椭圆H：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}$=1．…11分
由椭圆H上的任意一点C（x₀，y₁）
于是$\frac{{{x_0}^2}}{2}+\frac{{{y_1}^2}}{4}$=1…12分
椭圆E上的点M（x₀，y₂），即$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_2}$²=1又y₁y₂＞0，则y₁=2y₂…13分
又$A（-\sqrt{2}，0），B（\sqrt{2}，0）$，则k_AM=$\frac{y_2}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，k_BC=$\frac{y_1}{{{x_0}-\sqrt{2}}}$…15分
又$\frac{y_2}{{{x_0}+\sqrt{2}}}•\frac{y_1}{{{x_0}-\sqrt{2}}}=\frac{y_2}{{{x_0}+\sqrt{2}}}•\frac{{2{y_2}}}{{{x_0}-\sqrt{2}}}=\frac{{2{y_2}^2}}{{{x_0}^2-2}}$=-1
所以AM⊥BC…16分．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，韦达定理以及直线的斜率的关系，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及分类讨论思想的应用．