Question

6．已知M为抛物线y²=4x上的一点，点M到直线4x-3y+8=0的距离为d₁；点M到y轴距离为d₂．则d₁+d₂的最小值为$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线4x-3y+8=0的垂线，此时d₁+d₂最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d₁+d₂的最小值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点坐标（1，0），准线方程为：x=-1，
如图点M到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线4x-3y+8=0的垂线，此时d₁+d₂最小．
∵F（1，0），则d₁+d₂=$\frac{|4+8|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$-1=$\frac{7}{5}$，
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此类题设宜先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．