Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+y²=1，（m＞0），直线l不过原点且不行于坐标轴，与椭圆C有两个交点P，Q，线段的中点为M，若直线l的斜率与OM的斜率的乘积为-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的右焦点，椭圆C的上顶点为A，设直线AP，AQ分别交直线x-y-2=0于点S，T，求当|ST|最小时直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出P，Q，M的坐标，把P，Q的坐标代入椭圆方程，利用点差法结合已知求得m²，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出PQ所在直线方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，再写出AP所在直线方程，和直线方程联立求得S的横坐标，同理求出T的横坐标，转化为|ST|，然后利用换元法求其最小值，并求出取最小值时m的值，则直线PQ方程可求．

解答 解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{m}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{m}^{2}}+{{y}_{2}}^{2}=1$，
两式作差得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{{m}^{2}}$，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=-\frac{1}{{m}^{2}}$，
由题意，$-\frac{1}{{m}^{2}}=-\frac{1}{2}$，则m²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可得椭圆右焦点F（1，0），
直线PQ：x-my-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+2）y²+2my-1=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
设点S，T的坐标分别为（x_S，y_S），（x_T，y_T）．
∵直线AP的方程为y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得x_S=$\frac{3m{y}_{1}+3}{（m-1）{y}_{1}+2}$，
同理，x_T=$\frac{3m{y}_{2}+3}{（m-1）{y}_{2}+2}$，
∴|ST|=$\sqrt{2}$|x_S-x_T|=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{|m-7|}$，
设m-7=t，则|ST|=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{50（\frac{1}{t}+\frac{7}{50}）^{2}+\frac{1}{50}}$，
当$\frac{1}{t}=-\frac{7}{50}$，即m=-$\frac{1}{7}$时，|ST|取最小值．
∴当|ST|取最小值时，PQ的方程为y=-7x+7．

点评 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，是中档题．