Question

下面是关于f（x）=xsin（

π

2

-x）的四个命题：
p₁：图象关于原点对称
p₂：图象关于y轴对称
p₃：在[-3π，3π]上有6个零点
p₄：在[-3π，3π]上有7个零点，
其中的正确的为（　　）

• A、p₁，p₃
• B、p₂，p₃
• C、p₁，p₄
• D、p₂，p₄

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：利用三角函数的诱导公式化简f（x），然后由奇函数的概念说明f（x）为减函数，从而判断命题p₁正确；
举反例说明命题p₂不正确；
通过求具体值说明命题p₃不正确，p₄正确．

解答： 解：f（x）=xsin（

π

2

-x）=xcosx．
对于p₁，
∵函数f（x）=xcosx的定义域为R，且f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），
∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，命题p₁正确；
对于p₂，
∵f（-1）=-cos1，f（1）=cos1，f（-1）≠f（1），
∴f（x）=xcosx的图象不关于y轴对称，命题p₂错误；
对于p₃，p₄，
∵f（0）=0，f（-

π

2

）=f（

π

2

）=f（-

3π

2

）=f（

3π

2

）=f（-

5π

2

）=f（

5π

2

）=0，
且在[-3π，3π]上不存在另外的x使得f（x）=0，
∴f（x）在[-3π，3π]上有7个零点，命题p₃不正确，p₄正确．
∴正确的命题是p₁，p₄．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的诱导公式，训练了函数奇偶性的判断方法，考查了三角函数值的求法，是中档题．