Question

11．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展开式的常数项为15，则$\int_{-a}^a{（{x^2}+x+\sqrt{4-{x^2}}}）dx$=$\frac{2}{3}+\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．

解答 解：由${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•a^6-r•${x}^{\frac{3r-6}{2}}$，
令$\frac{3r-6}{2}$=0，求得r=2，故常数项为$C_6^4{a^4}=15$，可得a=1，
因此原式为$\int_{-1}^1{（{x^2}+x+\sqrt{4-{x^2}}）}dx=2\int_0^1{（{x^2}+\sqrt{4-{x^2}}）}dx=2（\int_0^1{x^2}dx+\int_0^1{\sqrt{4-{x^2}}}dx）$
=$2（\frac{1}{3}+\frac{{π•{2^2}}}{12}+\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}）=\frac{2}{3}+\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}+\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题