Question

设函数f（x）=2x³-9x²+12x+8c
（1）当c=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程，即可得到；
（2）求出导数，求出单调区间得到极值，求出端点处的函数值，即可得到最大值，再由恒成立思想，解不等式，即可得到c的范围．

解答： 解：（1）当c=1时，f（x）=2x³-9x²+12x+8
∵f（0）=8，∴切点坐标为（0，8）
又∵f′（x）=6x²-18x+12∴f（0）=12
∴切线方程为：y-8=12（x-0）即12x-y+8=0；
（2）∵f′（x）=6x²-18x+12，
f′（x）＞0即6x²-18x+12＞0解得x＜1或x＞2，
f′（x）＜0，即6x²-18x+12＜0解得1＜x＜2，
又∵0≤x≤3，∴f（x）的增区间为：[0，1）和（2，3]，减区间为（1，2）；
由函数单调性可知：x=1时，函数∴f（x）取得极大值，即f（1）=8c+5，
x=2时，f（x）取得极小值，即f（2）=8c+4；
又∵f（0）=8c，f（3）=8c+9∴f（x）_max=8c+9
又∵对于任意的0≤x≤3，都有f（x）＜c²成立，则f(x)max＜c2，
即：8c+9＜c²解得：c＜-1或c＞9
∴c的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值，最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题．