Question

4．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）若f（α）=$\frac{5}{3}$，求cos（α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由数量积的坐标运算得到f（x），利用辅助角公式化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数的减区间；
（2）由f（α）=$\frac{5}{3}$，求得$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，得到cos2（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，展开二倍角的余弦求得cos（α-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）由f（α）=$\frac{5}{3}$，得$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，从而sin[2（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=$\frac{1}{3}$，
∴cos2（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．
即$2co{s}^{2}（α-\frac{π}{6}）-1=\frac{1}{3}$，解得$cos（α-\frac{π}{6}）=±\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．