Question

15．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=8，E为DD₁的中点．
（1）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小；（用反三角函数形式表示）
（2）求多面体D-BCB₁的体积．LF．

Answer 1

分析 （1）连接AC，则AC∥A₁C₁，故∠B₁CA为异面直线A₁C₁与B₁C所成的角，求出△AB₁C的三条边，利用余弦定理计算∠B₁CA；
（2）直接代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：（1）连接AC，则AC∥A₁C₁，
∴∠B₁CA为异面直线A₁C₁与B₁C所成的角，
∵AB=AD=4，AA₁=8，
∴AC=4$\sqrt{2}$，AB₁=B₁C=4$\sqrt{5}$．
∴cos∠B₁CA=$\frac{{B}_{1}{C}^{2}+A{C}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}{2{B}_{1}C•AC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（2）V${\;}_{D-BC{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{B}_{1}}•CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×8×4$=$\frac{64}{3}$．

点评 本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，属于基础题．