Question

已知

a

，

b

满足：|

b

|=2|

a

|=2

a

•

b

=2，若

c

-

a

，

c

-

b

的夹角为

π

2

，则（

c

•

a

）_max=（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1+ 3

  2

• C、1+

  3

  2

• D、1+

  3

  4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由

a

，

b

满足：|

b

|=2|

a

|=2

a

•

b

=2，利用cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

，可得＜

a

，

b

＞=60°．不妨取

a

=（1，0），

b

=(1，

3

)．设

c

=（x，y）．利用

c

-

a

，

c

-

b

的夹角为

π

2

，可得（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=（x-1）²+y（y-

3

）=0，可得x≤1+

3

2

．即可得出

c

•

a

=x的最大值．

解答： 解：∵

a

，

b

满足：|

b

|=2|

a

|=2

a

•

b

=2，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=60°．
不妨取

a

=（1，0），

b

=(1，

3

)．
设

c

=（x，y），
∴

c

-

a

=（x-1，y），

c

-

b

=(x-1，y-

3

)，
∵

c

-

a

，

c

-

b

的夹角为

π

2

，
∴（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=（x-1）²+y（y-

3

）=0，
化为(x-1)2+(y-

3

2

)2=

3

4

．
∴x≤1+

3

2

∴

c

•

a

=x≤1+

3

2

．
（

c

•

a

）_max=1+

3

2

．
故选：C．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．