Question

设函数f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（Ⅰ）当a=0时，f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当n≥2，n∈N^*时，log₂e+log₃e+log₄e+…+log_ne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,数列的求和

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用参数分离法将f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）利用导数求出函数k（x）=f（x）-h（x）的最值，结合在[1，3]上恰有两个不同零点，建立条件关系，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）利用对数的运算法则，利用放缩法证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）由已知m≤

x

lnx

，令φ(x)=

x

lnx

，则问题等价于m≤φ（x）_min
因为φ′(x)=

lnx-1

ln2x

，当x∈（1，e）时，φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0
故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．
（Ⅱ）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点等价于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有两个相异实根．
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-

2

x

当x∈（1，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在[2，3]上是单调递增函数．
故g（x）_min=2-2ln2，又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，
∵g（1）＞g（3），∴g（2）＜a≤g（3），
故实数a的取值范围（2-2ln2，3-2ln3]．
（Ⅲ）∵logxe=

1

lnx

，故在k（x）=f（x）-h（x）中，
令m=1，a=0，得F（x）=lnx-xF(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
故F（x）=lnx-x在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
所以F（x）≤F（1）=-1，即lnx≤x-1
法一：∴

1

lnn

＞

1

n-1

=

2

2n-2

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

(n≥2)，
∴log2e+log3e+log4e+…+logne=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

；
当n≥2，n∈N^*时，log2e+log3e+log4e+…+logne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

．
法二：令x=n²（n≥2），则lnn2＜n2-1⇒

1

lnn2

＞

1

n2-1

⇒

1

2lnn

＞

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)
故

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+1

 (n≥2)（余下解法同解法一）．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及导数函数不等式的综合，考查学生的运算能力，综合性假期，有一定的难度．