题目内容

如图，半径为30cm的
1
4
圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为Vcm3；
（1）求V关于θ的函数关系式；
（2）求圆柱形罐子体积V的最大值．
考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
专题：应用题,不等式的解法及应用
分析：（1）求出圆柱底面半径，再求体积，即可求V关于θ的函数关系式；
（2）换元，利用基本不等式，即可求圆柱形罐子体积V的最大值．
解答： 解：（1）在Rt△OAB中，OA=30cosθ，AB=30sinθ
设圆柱底面半径为r，则30cosθ=2πr
即4π2r2=900cos2θ，
∴V=πr2•AB=
6750
π
cos2θsinθ．其中0＜θ＜90°．
（2）令sinθ=t（0＜t＜1），则cos2θsinθ=t（1-t2）
∵t2（1-t2）2=
1
2
×2t2（1-t2）（1-t2）≤
1
2
×(
2
3
)3
当且仅当2t2=1-t2，即t=
3
3
时，圆柱形罐子体积V的最大值
1500
3
π
．
点评：熟练掌握圆柱的体积计算公式、利用基本不等式求最值等是解题的关键．
练习册系列答案
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已知球O的表面积为16π，若在球O内有两个相外切的球，并且这两个球都与球O相切，若这三个球的球心共线，则球O内的这两个球的表面积之和的最小值为（　　）
A、8πB、6πC、4πD、2π
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．点P、H分别是线段VC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：AV∥平面PBD；   
（Ⅱ）求证：VH⊥面ABCD
（Ⅲ）求三棱锥C-PBD的体积．
（理科）已知函数f（x）=ex，g（x）=kx（k∈R）
（Ⅰ）若k=e2，试确定函数f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，对于任意的x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，求k的取值范围．
设函数f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（Ⅰ）当a=0时，f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当n≥2，n∈N*时，log2e+log3e+log4e+…+logne＞
3n2-n-2
2n(n+1)
．
已知sinθ=
3
5
，求tanθ的值．
已知向量
a
=（1，cosx），
b
=（1，siny），
c
=（4，1），且（
a
+
b
）∥
c

（1）若x=
π
2
，求|
b
|；
（2）求
b
•
c
-
a
2的最值．
已知函数f（x）=（2x-k•2-x）log2|x|+
1
2x
，f（2）=4．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若F（x）=f（x）+2且F（m）=10（m≠0），求F（-m）．
甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率是多少？

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