题目内容
已知定义在R上的函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且当x＞0时，f（x）＞1
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若f（2）=3，解不等式f（a2+a-5）＜2．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若f（2）=3，解不等式f（a2+a-5）＜2．
考点：抽象函数及其应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数单调性的定义，结合抽象函数之间的关系即可证明函数f（x）在R上是增函数；
（2）若f（2）=3，将不等式f（a2+a-5）＜2转换为f（a2+a-5）＜f（1），利用函数的单调性即可得到结论．
（2）若f（2）=3，将不等式f（a2+a-5）＜2转换为f（a2+a-5）＜f（1），利用函数的单调性即可得到结论．
解答：
解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴f（m+n）-f（m）=f（n）-1，
设x1＜x2，则x2-x1＞0，
则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1，
∵当x＞0时，f（x）＞1
∴f（x2-x1）＞1，即f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1＞0，
则f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在R上是增函数；
（2）f（2）=3，则f（2）=f（1）+f（1）-1=3，
即2f（1）=4，则f（1）=2，
则不等式f（a2+a-5）＜2等价为f（a2+a-5）＜f（1）．
∵函数f（x）在R上是增函数，
∴a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0．
解得-3＜a＜2．
故不等式的解集为（-3，2）．
∴f（m+n）-f（m）=f（n）-1，
设x1＜x2，则x2-x1＞0，
则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1，
∵当x＞0时，f（x）＞1
∴f（x2-x1）＞1，即f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1＞0，
则f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在R上是增函数；
（2）f（2）=3，则f（2）=f（1）+f（1）-1=3，
即2f（1）=4，则f（1）=2，
则不等式f（a2+a-5）＜2等价为f（a2+a-5）＜f（1）．
∵函数f（x）在R上是增函数，
∴a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0．
解得-3＜a＜2．
故不等式的解集为（-3，2）．
点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据抽象函数，利用赋值法是解决本题的关键．综合性较强．
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| 1 |
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